1(6-10).Найдите правильную дробь, которая увеличится в 3 раза, если её числитель возвести в куб и одновременно к знаменателю прибавить число 3. Решение. Пусть x - числитель ,a y - знаменатель дроби, x и у - натуральные числа . Числитель Знаменатель Вся дробь было стало УВЕЛИЧИЛАСЬ В 3 РАЗА На основании связи между числами в третьем столбце составляем уравнение: или или (так как - натуральное число) ; ; . Так как и - натуральные числа, , , или , , или , . Годится только последний вариант: , . Ответ: 2(7-10). Могут ли две биссектрисы треугольника быть взаимно перпендикулярными? Решение Пусть - произвольный треугольник, , , . Тогда , . Теперь рассмотрим треугольник , где - точка пересечения биссектрис треугольника . В нем , . Значит . Ответ. Не могут. 3(8 - 10). Первая,вторая и третья цистерны одинакового объёма начинают одновременно наполняться нефтью со скоростями 100, 60 и 80 литров в минуту соответственно. Сначала первая цистерна пуста, а вторая и третья частично заполнены. Известно, что все три цистерны будут заполнены полностью одновременно. Во сколько раз первоначальное количество нефти во второй цистерне больше, чем в третьей? Решение. Первоначальное количество в л. Скорость работы в л/мин Время в мин. Объем нефти в цистерне в л. 1-ая цистерна 0 100 одинаковое одинаковое 2-ая цистерна 60 3-я цистерна 80 Требуется найти . Обозначим время работы через . Заполним таблицу. Первоначальное количество в л. Скорость работы в л/мин Время работы в мин. Объём нефти в л. к концу работы 1-ая цистерна 0 100 оди- 2-ая цистерна 60 нако- 3-я цистерна 80 вое На основании равенства всех чисел в последнем столбце получаем два уравнения: и . Неизвестных больше,чем уравнений. Поэтому однозначно найти значения всех неизвестных не удастся. Но нас интересует только . Выразим и через . и . Значит . Ответ. В 2 раза. 4(8-10). Найдите радиус окружности, вписанной в четверть единичного круга (окружность должна касаться и дуги круга, и ограничивающих четверть круга радиусов). Решение. Пусть - центр данной окружности, - искомой. Пусть , и - точки, в которых искомая окружность касается границ четверти исходного круга. Пусть радиус искомой окружности равен . Тогда , . Значит - квадрат со стороной . Точки , и лежат на одной прямой, и . Так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета, получаем уравнение . Решим уравнение: ; ; ; . Так как , то ; . Ответ: . 5(6-10). Простое или составное число ? (Простым называется натуральное число, большее единицы, которое делится только само на себя и на единицу.) Решение. Заметим, что , где , а . Значит . Итак, делится на . При этом . Ответ: составное. 6(7-10). Найдите углы треугольника, если две его стороны видны из центра описанного около него круга под углами 20°и 30° соответственно. Решение. Будем использовать сведения из курса геометрии за восьмой класс: центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, а вписанный - половиной дуги. Отсюда следует, что одна сторона нашего треугольника разбивает окружность на дуги в 20° и 360°-20°=340°, а другая - на дуги в 30° и 330°. Значит лежащие против этих сторон углы равны соответственно один 10° или 170°, а другой - 15° или 165°. Так как у треугольника не может быть больше одного тупого угла, то остаются варианты 10°; 165°, или 15°; 170°, или 10°; 15°. При этом вариант 15°; 170° отпадает потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°, а 15°+170°>180°. Остались варианты 10°; 165°; 5° и 10°; 15°; 155°. Оба варианта удовлетворяют условию задачи. Ответ: 10°; 165°; 5° или 10°; 15°; 155°. 7(6-10). Найдите трехзначное число, если известно, что три последних цифры его квадрата образуют само это число. Решение. Пусть - искомое число. Тогда последние три цифры числа равны 0. Значит делится без остатка на . Но , где числа и - соседние в натуральном ряду. Значит в разложение одного из этих чисел на простые множители должно входить три двойки, а в разложение другого - три пятёрки. Значит либо , либо равно одному из чисел 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875. Проверяем: 125 при делении на 8 даёт остаток 5, 250 - остаток 2, 375 - остаток 7, 500 - остаток 4, 625 - остаток 1, 750 - остаток 6, 875 - остаток 3. Подходят только варианты
почтьовый адрес.
фамилию, имя и отчество, а также полный
При этом обязательно следует указать свой личный номер,
зав. отделением математики.
и написать запрос об этом на
Для этого Вы должны ознакомиться с
Вам следует получить логин и пароль для входа в Спецраздел.
другие возможности, которые мы планируем ввести в скором будущем,
а также использовать
Если Вы хотите задавать вопросы в разделе
Вход для наших учеников
ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики
ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики: Разбор задач
Комментариев нет:
Отправить комментарий